Python, да?
Для работы с Youtube-ом можно использовать библиотеки для парсинга/http запросов.
Это может быть requeses, selenium. Загугли.
Основная идея заключается в том, что по ссылке парсер будет заходить на страницу, искать видео (как это делается — посмотри гайды по работе с библиотеками, там на 5-10 видосиков много есть в ютубе, нет смысла заново рассказывать), а дальше чтобы это выводилось в телеграм.
Со второй частью не помогу, TG API никогда вживую не видел.