Python, да?

Для работы с Youtube-ом можно использовать библиотеки для парсинга/http запросов.

Это может быть requeses, selenium. Загугли.

Основная идея заключается в том, что по ссылке парсер будет заходить на страницу, искать видео (как это делается — посмотри гайды по работе с библиотеками, там на 5-10 видосиков много есть в ютубе, нет смысла заново рассказывать), а дальше чтобы это выводилось в телеграм.

Со второй частью не помогу, TG API никогда вживую не видел.